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title: 溶液问题
description: 溶液问题-数学应用题-上岸学堂
keywords: 溶液问题,数学应用题,上岸学堂,行测,数量关系
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# 溶液问题

## 公式:

$$\frac{A}{B} = \frac{r - b}{a - r}$$

**十字相乘法原理解读**: 十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的。若有两种质量分别为 $$A$$ 与 $$B$$ 的溶液，其浓度分别为 $$a$$ 与 $$b$$，混合后浓度为 $$r$$，则由溶质质量不变可列出公式：

$$A \cdot a + B \cdot b = (A + B) \cdot r$$

对上述式进行变形可得：
$$\frac{A}{B} = \frac{r - b}{a - r}$$


二、浓度问题 
（一）核心知识点 
浓度问题是行测数量关系中的重要考点，主要涉及溶液浓度的变化。掌握以下核心概念对解题至关重要：

1. **溶质、溶剂、溶液的质量关系**
   - 溶质（X）：如酒精、硫酸等
   - 溶剂（Y）：通常为水
   - 溶液：溶质和溶剂的总和（X+Y）
   
   质量比关系：X : Y : (X+Y)

2. **溶解度**
   - 定义：100克溶剂中最多能溶解的溶质的克数
   - 单位：克（g）
   - 计算公式：
     $$\frac{m_{溶质}}{m_{溶剂}} = \frac{s_{溶解度}}{100g_{溶剂}}$$

3. **浓度**
   - 定义：溶质质量占溶液总质量的百分比
   - 计算公式：
     $$浓度 = \frac{溶质质量}{溶液质量} \times 100\%$$

### （二）解题方法

在解决溶液问题时，关键是理解溶质、溶剂、溶液三者之间的关系。常用的解题方法包括：

1. 特值法
2. 带入求解
3. 十字交叉法
4. 比例法

其中，**十字交叉法**尤为重要，特别是在已知溶液浓度的情况下。

### （三）解题技巧

记住以下口诀可以帮助你更好地应对浓度问题：

> 加糖水不变，加水糖不变；
> 抓住不变量，不变应万变；
> 两两混合十字交，特值方程加比例！

#### 口诀解析：

1. "加糖水不变"：加入溶质（如糖）时，溶剂（水）的量不变
2. "加水糖不变"：加入溶剂（水）时，溶质（糖）的量不变
3. "抓住不变量"：找出在变化过程中保持不变的量
4. "两两混合十字交"：使用十字交叉法解决两种溶液混合的问题
5. "特值方程加比例"：灵活运用特殊值法、方程法和比例法


## 例题讲解

**例题1**
某饮料店有纯果汁（即浓度为100%）10千克，浓度为
30%的浓缩还原果汁20千克。若取纯果汁、浓缩还原果汁各10千克倒入10
千克纯净水中，再倒入10千克的浓缩还原果汁，则得到的果汁浓度为： 

- A．40%                
- C．35%                
- B．37.5%  
- D．30% 

<BlurredAnswer>
**解析**:

方法一: 只看最终溶质溶液，计算出浓度

根据题干可得，一共倒入纯果汁（即浓度为100%）10千克，纯净水10千克，浓度为30%的浓缩还原果汁20千克。可知最终溶液的量为：

$$
10 + 10 + 20 = 40 \, \text{千克}
$$

根据公式：

$$
\text{溶质} = \text{溶液量} \times \text{浓度}
$$

最终溶液溶质为：

$$
10 \times 100\% + 20 \times 30\% + 10 \times 0 = 16 \, \text{千克}
$$

则最终果汁浓度为：

$$
\frac{\text{溶质}}{\text{溶液量}} = \frac{16}{40} = 40\%
$$

</BlurredAnswer>
